Dossier: Allgemeine Relativitätstheorie

Das Trägheitsgesetz, das so grundlegend in die klassische Mechanik eingeht, ist erstaunlich schwer auf eine logisch befriedigende Weise zu fassen und wird auch in Lehrbüchern häufig unzureichend dargestellt. Schon die Entdeckung des Trägheitsgesetzes war ein mühsamer und langwieriger Prozess. Im alten Griechenland stellte man sich die Frage, ob es in der Natur besonders ausgezeichnete, „natürliche“ Bewegungsformen von materiellen Körpern gebe. Man vermutete diese meist in Kreisbahnen, angelehnt an die scheinbaren Bewegungen der Himmelskörper. Ab dem 16. Jahrhundert analysierten vor allem italienische Philosophen und Physiker auch geradlinig-gleichförmige Bewegungen im Hinblick auf diese Frage. Dabei waren natürlich die unausweichlichen Gravitations- und Reibungs-effekte in irdischen Laboren die wesentlichen Hindernisse. Galileo Galilei hat sich nach 1610 immer wieder und anhand verschiedenster Beispiele intensiv mit dieser Frage befasst und im 1632 veröffent­lich­ten „Dialog über die beiden haupt­sächlichsten Weltsysteme“ Formulierungen gefunden, die als erster Schritt zur Erkenntnis eines allgemeinen Trägheitsgesetzes gelten können. So lässt er sein alter ego, Salviati, am 2. Tag des Dialogs sagen, ein Schiff sei „daher bestrebt, nach Entfernung aller zufälligen und äußerlichen Hindernisse, mit der ihm einmal mitgeteilten Anfangsgeschwindigkeit unablässig und gleichförmig sich fortzube­wegen.“ ([1], S. 155)
In der Folgezeit haben vor allem Descartes und Huygens das Trägheitsgesetz konkretisiert und die Vermutung geäußert, dass es sich um ein universelles Prinzip der Physik handele. Die explizite Formulierung des Trägheitsgesetzes als ein allgemeines und fundamentales Prinzip der Physik verdanken wir Isaac Newton, der 1687 in den Principia als Gesetz I feststellte: „Jeder Körper verharrt in seinem Zustand des Ruhens oder des Sich-geradlinig-gleichförmig Bewegens, außer insoweit wie jener von eingeprägten Kräften gezwungen wird, seinen Zustand zu verändern.“ ([2], S. 33) ...

Mit der Aufstellung der Feldgleichungen für seine relativis­tische Gravitationstheorie vollendete Albert Einstein im November 1915 in Berlin seine jahrelangen Bemühungen. Zu dieser Zeit waren viele deutsche und österreichische Naturwissenschaftler und Mathematiker wegen des Ersten Weltkriegs zum Militär eingezogen worden. Schon im Dezember 1915 schickte der Astronom Karl Schwarzschild von der russischen Front aus eine exakte Lösung für einen kugelsymmetrischen Stern (Innen- und Außenraum) an Einstein, die fünfzig Jahre später der Prototyp für ein „Schwarzes Loch“ werden sollte. Jeder, der sich mit partiellen Differentialgleichungen auskannte, konnte sofort etwas zur neuen Theorie beitragen. Daher waren wichtige exakte Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen wie etwa die Reissner-Nordström und – für die Feldgleichungen mit kosmologischer Konstante – die de-Sitter-Lösung schon bis 1917 gefunden.

Die an Physik interessierte Öffentlichkeit wies 1916 ein Büchlein des jungen Potsdamer Astronomen Erwin Freundlich auf die neue Theorie hin. 1917 legte Einstein eine eigene Darstellung für einen größeren Leserkreis vor: „Über die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie, gemeinverständlich“. Auch Philosophen wie Moritz Schlick richteten schon 1917 ihr erkenntnistheoretisches Interesse auf Einsteins Gravitationstheorie. Einstein korrespondierte mit praktisch allen, die über Allgemeine Relativitätstheorie forschten oder sich dazu kritisch äußerten. Die von ihm vertretene physikalische Bedeutung der allgemeinen Kovarianz seiner Theorie stellte Erich Kretschmann 1917 in Frage. Die Fachwelt hatte also bereits vor dem Ende des Ers­ten Weltkriegs wesentliche Eigenschaften der ART beschrieben und Folgerungen aus ihr gezogen (kosmologische Modelle, Gravita-tionswellen)...

Um die Wende zum 20. Jahrhundert gab es eigentlich keinen Grund für die Entwicklung einer neuen Gravitationstheorie. Die einzige damals bekannte Abweichung von der Newtonschen Gravitationstheorie, die Periheldrehung der Merkurbahn, konnte versuchsweise durch Störungen erklärt werden. Für den hypothetischen Planet, dem man diese Störungen zuschreiben wollte und der innerhalb der Merkurbahn um die Sonne hätte laufen sollen, gab es bereits einen Namen: Vulkan.

Es war nicht die Gravitationstheorie, die Einstein auf den Weg von der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) zur ART brachte. Obwohl die SRT den absoluten, affinen Raum der Newtonschen Mechanik aufgab, auf dem die Galilei-Transformationen von einem Inertialsystem in ein anderes transformierten, behielt sie die Inertialsysteme bei. Später hat es Einstein als den größten konzeptionellen Schritt der ART bezeichnet, dass sie die Inertialsysteme aufgab und an ihre Stelle die frei fallenden Bezugssysteme setzte, was aufgrund des Äquivalenzprinzips möglich wurde. Die ART erhebt den empirischen Befund zum Prinzip, dass die träge und die schwere Masse beliebiger Körper gleich seien. Dies führt zu den vertrauten Betrachtungen eines im Gravitationsfeld frei fallenden oder außerhalb des Gravitationsfeldes gleichförmig beschleunigten Aufzugs: Fällt eine Aufzugskabine frei im Gravitationsfeld, lässt sich in ihr kein Gravitationsfeld mehr nachweisen. Beschleunigt man eine Aufzugskabine gleichförmig außerhalb eines Gravitationsfeldes, kann ein Experimentator in der Kabine nicht unterscheiden, ob er durch die Beschleunigung oder durch ein Gravitationsfeld an den Boden der Kabine gedrückt wird...

Kurz zusammengefasst beschreibt die Allgemeine Relativitätstheorie (ART) Gravitation mit Hilfe der Krümmung der Raumzeit. Oder, wie John Wheeler es eloquent beschrieben hat, „Matter tells spacetime how to curve, and curved spacetime tells matter how to move.“ Mathematisch ist dies ausgedrückt in der Einsteinschen Feldgleichung¹⁾

deren hundertsten Geburtstag wir dieses Jahr feiern. Leider ist dieses Juwel einer Gleichung für Nichtspezialisten etwas unzugänglich. Für den Rahmen dieses Artikels müssen wir sie aber zum Glück nicht im Detail verstehen.Auf den ersten Blick scheinen die beiden Gleichungen nicht viel gemeinsam zu haben (genau genommen nur π und G), aber sie sind tatsächlich eng verwandt. Die Dichte ρ spielt die Rolle einer Quelle auf der rechten Seite der Poisson-Gleichung (2); in der Einstein-Gleichung (1) wird die Dichte ausgedrückt durch den Energie-Impuls-Tensor Tab. Auf der linken Seite der Poisson-Gleichung ist der Laplace-Operator =2 eine Abkürzung für zweite (räumliche) Ableitungen des Gravitationspotentials , dem fundamentalen Objekt in der Newtonschen Gravitationstheorie. Das fundamentale Objekt in der ART ist die Raumzeit-Metrik gab, und tatsächlich befinden sich zweite Ableitungen der Metrik auf der linken Seite der Feldgleichung (1) − diese sind allerdings gut versteckt im Einstein-Tensor Gab. Stattdessen vergleichen wir sie mit ihrem Newtonschen Cousin, der Poisson-Gleichung

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Die Messung der Lichtablenkung im Gravitationsfeld der Sonne während einer Sonnenfinsternis 1919 bestätigte eine der zentralen Vorhersagen der Allgemeinen Relativitätstheorie. Das verhalf ihr zur breiten Anerkennung in der Fachwelt und weit darüber hinaus. Schon bald darauf wurde über weitere spektakuläre Effekte der gravitativen Lichtablenkung spekuliert: Falls sich eine genügend massereiche und kompakte Massenverteilung zwischen einer entfernten Quelle und uns befindet, kann es mehrere Lichtstrahlen geben, die uns mit der Quelle verbinden − und damit wäre die Quelle an mehreren Positionen der Sphäre zu sehen (Abb. 1). Die ersten Mehrfachbilder eines Quasars wurden 1979 entdeckt; inzwischen ist die Zahl solcher starken Gravitationslinsensysteme auf mehrere hundert angewachsen, wobei als Quellen aktive und normale Galaxien auftreten und Galaxien oder Gala­xienhaufen als Linse wirken [1].

Da Lichtbündel nicht nur als Ganzes, sondern auch differentiell abgelenkt werden, sind die beobachteten Bilder im Vergleich zum Bild der unabgelenkten Quelle verzerrt. Dies hat zwei Effekte zur Folge: Erstens ändert sich die Querschnittsfläche (bzw. der beobachtete Raumwinkel) der Lichtbündel. Da die Flächenhelligkeit aufgrund des Liouville-Theorems erhalten bleibt, ändert sich der beobachtete Fluss eines Bildes um diese Flächenverzerrung. Zweitens verändert sich die Form der Bilder. Beide Effekte können dramatische Konsequenzen haben, etwa leuchtende Bögen in Galaxienhaufen (Abb. 2). Der Fluss dieser Bögen kann den der „ungelinsten“ Quelle um einen Faktor 20 oder mehr übersteigen. Wie schon Fritz Zwicky 1937 vorhersagte, erlaubt uns der Linseneffekt daher einen besseren Blick auf leuchtschwache, sehr weit entfernte Quellen. In den meisten Fällen ist die Bildverzerrung wesentlich unspektakulärer als bei den leuchtenden Bögen und lässt sich in individuellen Bildern nicht identifizieren; wir sprechen dann vom „schwachen Gravitationslinsen­effekt“. Da jedoch in unserem Universum die Dichte von schwachen und weit entfernten Galaxien an der Sphäre sehr groß ist, ist es möglich, diese Verzerrungen statistisch nachzuweisen und quantitativ zu untersuchen...

Am 18. November 1915 zeigte Albert Einstein, dass seine Allgemeine Relativitätstheorie (ART) auf natürliche Weise die beobachtete Periheldrehung des Merkur erklärt. Die Lösung dieses seit 1859 ungelös­ten Problems der Himmelsmechanik gelang Einstein bereits eine Woche, bevor er die ART als abgeschlossen erklären konnte, und markiert die erste ­experimentelle Überprüfung der Theorie. In demselben Beitrag schlug er des Weiteren die Lichtablenkung im Gravitationsfeld der Sonne und die Gravitationsrotverschiebung von Spektrallinien als Tests der ART vor. Der erste Nachweis der Lichtablenkung glückte ein paar Jahre später während der totalen Sonnenfinsternis am 29. Mai 1919. Die damalige Messung wies zwar noch eine recht große Unsicherheit von rund 15 Prozent auf, entschied aber zugunsten der ART, die verglichen mit der Newtonschen Theorie den doppelten Ablenkwinkel vorhersagt. Heute ist die Ablenkung an der Sonne am besten mittels der Radiostrahlung von Quasaren nachgewiesen. Die Vermessung der Quasar-Positionen mit der VLBI-Methode stimmt im Rahmen der Messgenauigkeit von etwa 10–4 mit der ART überein.

Die Krümmung der Raumzeit durch die Masse der Sonne lenkt aber nicht nur das Licht ferner Sterne ab, sondern verlängert auch die Laufzeit elektromagnetischer Wellen. Den besten Nachweis dieser sog. Shapiro-Laufzeitverzögerung ermöglichten 2002 die Telemetrie-Daten der Cassini-Sonde, die den Planeten Saturn umkreist. Sie erreichte eine relative Genauigkeit von etwa 10–5. Als besonders schwierig stellte es sich heraus, die Gravitationsrotverschiebung in den Spektrallinien der Sonne zu beobachten, und zwar aufgrund nichtgravitativer Einflüsse wie Plasmaströmungen in der Photosphäre. Mit hoher Präzision gelang der Nachweis der Rotverschiebung erst mit dem Mößbauer-Effekt sowie Atomuhren...

Etwa ab dem Jahr 2000 haben Astronomen mit zunehmender Gewissheit nachgewiesen, dass das Universum seit langer Zeit beschleunigt expandiert.1) Seither ist die Diskussion um Einsteins kosmologische Konstante erneut entfacht worden und hat sich zum Problem der „Dunklen Energie“ ausgeweitet. Die Geschichte um diese Konstante ist nicht nur wechselvoll und interessant, vom Standpunkt der Quantentheorie aus ist ihre tatsächliche Kleinheit auch ein großes Rätsel. Eine befriedigende Deutung ist nicht in Sicht und wohl erst auf der Basis eines einheitlichen Verständnisses der fundamentalen Wechselwirkungen zu erhoffen. Es sei aber schon jetzt betont, dass in den Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie − einer klassischen Feldtheorie − zwei Konstanten frei sind und experimentell, also durch Beobachtungen, bestimmt werden müssen. Die Werte beider Konstanten sind sehr merkwürdig: Die Newtonsche Konstante G definiert eine riesig hohe Massenskala, die Planck-Skala von etwa 1019 Protonenmassen, während umgekehrt die kosmologische Konstante Λ eine Energie-Massendichte definiert, die vom Standpunkt der Elementarteilchenphysik aus gesehen winzig ist.

Die abstoßende Gravitation

In der schlimmsten Zeit des ersten Weltkrieges, am 8. Februar 1917, hielt Einstein vor der Preußischen Akademie der Wissen­schaften einen Vortrag über die Anwendung seiner Allgemeinen Relativitätstheorie auf das gesamte Universum. Ein paar Tage vor seinem Referat schrieb er seinem Freund und Kollegen Paul Ehrenfest nach Leiden: „Ich habe wieder etwas verbrochen in der Gravita­tionstheorie, was mich ein wenig in Gefahr bringt, in ein Tollhaus interniert zu werden.“